小波包变换在信号处理中的应用
蔡云，戴鹏**
作者简介：蔡云，（1988-），女，硕士研究生，电力电子与电力传动
通信联系人：戴鹏，（1973-），男，副教授，博士，主要从事电力电子及电力传动方向的教学与科研工作.
E-mail: zzhilei@126.com
（中国矿业大学信电学院，江苏 徐州 221008）
5 摘要：本文首先介绍了小波包的理论和小波包算法，由于其具有良好的时-频特性，广泛应
用于信号处理中。文中给出了两个具体例子来验证小波包变换在信号处理中的应用。实例一
主要是小波包用于信号去噪，从结果中可以看出在信号去噪中，小波包变换可以有效地抑制
了噪声成分，真实的反应出信号的基本特性。此外，小波包变换在检测负载波动中也有个广
泛的应用。从实例二中可以看出，通过小波包变换可以有效的区别出电机是发生转子断条故
10 障还是发生了负载波动。文章最后还指出了小波包的发展前景。
关键词：小波包变换；信号处理；信号去噪
中图分类号：TP317.4
The applications of WPT in the signal processing
15 CAI Yun, DAI Peng
(School of Information and Electrical Engineering,CUMT, JiangSu XuZhou 221008)
Abstract: This paper firstly introduces the theory of wavelet packet and the algorithm of wavelet
packet. Because of its good time-frequency characteristics, it is widely used in signal processing.
The paper gives two specific examples to validate the applications of the wavelet packet transform
20 in signal processing. The first one is that wavelet packet is used for signal de-noising, it can be
seen from the results that in the signal de-noising the wavelet packet transform can effectively
suppress the noise components and response the basic characteristics of the signal. In addition, the
wavelet packet transform also has a wide range of applications in the detection of load fluctuations.
As can be seen from the second example it can effectively distinguish the motor with the fault of
25 rotor broken bars or the load fluctuations through wavelet packet transform. Finally, the article
also pointed out that the prospects of wavelet packet.
Keywords: WPT; Signal Processing; Signal De-noising
0 引言
30 传统的数字信号分析和处理是建立在傅立叶变换基础上,傅氏变换是平稳信号在时域与
频域间互相转换的算法工具,但无法表述信号的时频局域性质;对于非平稳信号人们使用短时
傅立叶变换,但它使用的是一个固定的短时窗函数,是一种单一分辨力的信号分析方法,存在
着不可弥补的缺陷。小波理论[1][2]是在傅立叶变换和短时傅立叶变换的基础上发展起来的,
它具有多分辨分析的特点,在时域和频域上都具有表征信号局部特征的能力,是信号时频分析
35 的优良工具。小波包分析是小波分析的延伸,具有十分广泛的应用价值。运用小波包分析进
行一维信号消噪、特征提取和识别是小波包分析在数字信号处理中的重要应用。
1 小波包定义
小波包的基本思想是对多分辨率分析中的小波子空间进行分解[57]。在多分辨率分析中，
2( ) j Z j
LR W
∈
= ⊕ ，表明多分辨率分析是按照不同的尺度因子j 把Hilbert 空间
L2(R)分解为所
有小波子空间( ) j 40 W j∈Z 的正交和。为了提高频率分辨率，可以按照二进方法对小波子空间
 j W 作进一步的频率细分。用一种新的子空间nj
U 将尺度子空间j V 和小波子空间j W 统一起
来，令：
0
1
j j
j j
V U
j Z
W U
⎨⎧⎪ = ∈
⎩⎪ =
(1-1)
则j V 与j W 的关系以及对空间j 1 V − 的分解用nj
U 统一为：
0 1 0 0 1
1 , j j j j j U U U U U − 45 ⊥ = ⊕ (1-2)
对式(1-2)中的关系作进一步推广得：
2 2 1 2 2 1
1 n n , n n n
j j j j j U U +U U U +
− ⊥ = ⊕ (1-3)
小波包的定义：称由式(1-4)定义的函数族{ } n n Z u ∈ +
为由尺度函数0u (t) =ϕ(t)所确定的
小波包(Wavelet Packets)：
2
2 1
( ) 2 (2 )
( ) 2 (2 )
n kn
k Z
n kn
k Z
u t hu t k
u t gu t k
∈
+
∈
⎧ = −
⎪⎨
= − ⎪⎩
Σ
Σ 50 (1-4)
当n=0时，变为：
0 0
1 0
( ) 2 (2 )
( ) 2 (2 )
k
k Z
k
k Z
u t hu t k
u t g u t k
∈
∈
⎧ = −
⎪⎨
= − ⎪⎩
Σ
Σ (1-5)
式(1-5)中， 0u (t)、1u(t)分别表示尺度函数ϕ (t) 和小波函数ψ (t) 。式(1-4)中的2 ( ) n u t 、
2 1( ) n u t + 则可分别看作是尺度函数0u (t)和小波函数1u(t)的推广。g(k)=(−1)kh(1−k)，设
n( ) n
j j g t u ∈ ，则nj
55 g 可表示为：
n( ) j,n (2j 1)
j l
l
g t =Σd u t− (1-6)
由式(1-6)可知，小波包分解即是1( ) nj
g t + 分解为
2n( )
j g t 和
2n 1( )
j g + t
。
2 小波包分解与重构算法
小波包分解算法由{ j,n}
l d
求{ j 1,2n}
l d +
和{ j 1,2n 1}
l d + +
，即：
1,2 ,
2
1,2 1 ,
2
j n jn
l k l k
k
j n jn
l k l k
k
d h d
d g d
+
−
+ +
−
⎧ =
⎪⎨
= ⎪⎩
Σ
Σ 60 (2-1)
小波包的重构算法由{ j 1,2n}
l d +
和{ j 1,2n 1}
l d + +
求{ j,n}
l d
，其表达式为：
, 1,2 1,2 1
2 2 jn [ j n j n]
l l k k l k k
k
d h d+ g d+ +
− − =Σ + (2-2)
图1 为三层小波包分解树结构图，对信号W 分解的一般形式为W(j,n) ，其中j 是一
 尺度参数，定义小波包分解的深度，而参数n 是一频率参数，定义分解函数在树结构中的位
65 置。分解的结果可以表示为：
W(0,0)=W(3,0)+W(3,1)+W(3, 2)+W(3,3)+W(3,4)+W(3,5)+W(3,6)+W(3,7)
(2-3)
W(0,0)
W(1,1)
W(2,2) W(2,3)
W(3,4) W(3,5) W(3,6) W(3,7)
W(1,0)
W(2,0) W(2,1)
W(3,0) W(3,1) W(3,2) W(3,3)
图1 小波包分解树结构图
70 Fig.1 The tree structure of wavelet packet decomposition
3 小波包的应用
3.1 小波包用于信号去噪处理
3.1.1 小波包去噪步骤
75 小波包去噪[3][4]步骤：
(1)选择一个小波,确定小波分解层次,对信号进行N 层小波包分解;
(2)确定最佳小波包基,即根据给定的熵标准计算最佳树。在MATLAB 中,可以通过函数
besttree 完成;
(3)对每个小波包分解系数,选择一个适宜的阈值,且对其量化,以便取得最佳效果;
80 (4)依据第N 层小波包的分解系数和量化系数重构小波包,以此达到消噪目的。
3.1.2 小波包去噪实例
图2(a)为一含噪信号，图2(b)为小波包阈值去噪结果，从图中可以明显看出，小波包很
好地去除了原始信号中的噪声信号。
0 200 400 600 800 1000
-15
-10
-5
0
5
10
15
样本序号 n
幅值 A
原始信号
85 (a) 原始信号
 0 200 400 600 800 1000
-10
-5
0
5
10
样本序号 n
幅值 A
小波包阈值去噪信号
(b) 小波包阈值去噪信号
图2 含噪信号的去噪结果
90 3.2 小波包用于检测负载波动
在鼠笼式异步电动机转子断条故障[5][6]的检测中，用Fourier 变换分析时易把负载的波动
误判为是转子断条故障。这是因为在电机发生负载波动时，定子电流中除了包含基频分量1 f
外，还含有以基频分量1 f 为中心频率的各种调制频率分量，这些调制频率分量在进行电机故
障诊断时就易被误认为是转子断条故障的特征频率1 (1±2s) f 分量。式(3-1)是电动机在
95 t=1s的时刻发生负载波动的定子电流仿真信号，式(3-2)为电动机发生转子断条故障时的定
子电流仿真信号，其中工频分量1 f = 50Hz，采样频率500Hz s f = ，采样点数N =1000，
转差率s = 0.02。
1
1
1
sin(2 ) 0 1
0.5sin(2 ) 1 2
f t t s
i
f t t s
π
π
⎧ < ≤
= ⎨⎩ < ≤
(3-1)
2 1 1 1 i=sin(2πft)+0.02sin(2π(1+2s)ft)+0.02sin(2π (1−2s)ft) (3-2)
100 图2 为式(3-1)经过Fourier 变换的频谱图，图3 为电机转子断条故障仿真信号的频谱图。
比较图2 和图3 可以看出，在异步电机发生负载波动时，定子电流的基频分量附近产生的各
20 40 60 80
0
50
100
150
200
250
300
频率f(Hz)
幅值
图2 负载发生波动时的频谱图
Fig.2 Frequency spectrum when the load fluctuation
 种调制分量极易被误判为是转子断条故障的特征频率分量。因此，当电机发生负载波动
时，用Fourier 分析方法来诊断电机是否存在转子断条故障就存在很大的局限性。
本文引用基于时频分析的小波包分析方法，通过分析信号的小波包分解树中某一节点的
小波包分解系数的变化情况来提取电机负载波动发生的时刻，从而将负载波动与转子断条故
110 障区分开来。
图4 为对式(3-1)所示的负载波动信号采用sym8 小波基进行3 层小波包分解后，节点(3,6)
的小波包分解系数。图5 为对式(3-2)所示的电机转子断条故障时的定子电流仿真信号进行同
样的小波包分解得到的节点(3,6)的系数。比较图4 和图5 可以看出，图4 中信号在t=1s处
发生了改变，这与实际情况信号在t=1s处发生了负载波动相吻合；而图5 中信号却保持一
115 条直线没有突变成分存在，因此采用这种方法可以明显的区分出转子断条故障与负载突变信
号的不同。
因此，为了消除因电机负载波动而造成的对电机转子断条故障的误判，可以先对采集
20 40 60 80
0
50
100
150
200
250
300
频率f(Hz)
幅值
120 图3 电机发生转子断条时的频谱图
Fig.3 Frequency spectrum with broken rotor bars
0 0.5 1 1.5 2
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
时间t(s)
幅值
节点(3,6)
图4 负载波动信号节点(3,6)的小波包分解系数
125 Fig.4 Wavelet packet decomposition coefficients of node (3,6) with load fluctuations
 0 0.5 1 1.5 2
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
时间t(s)
幅值
节点(3,6)
图5 转子断条故障信号节点(3,6)的小波包分解系数
Fig.5 Wavelet packet decomposition coefficients of node (3,6) with broken rotor bars
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