基于第二代小波变换的结构损伤识别研究#
陈淮1，万拥军1，何伟2，孙增寿1*
基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（200804590006），河南省杰出人才计划项目（084200510003）。
作者简介：陈淮，（1963-），男，教授，博导，主要研究桥梁结构与工程应用. E-mail: chenh@zzu.edu.cn
（1. 郑州大学土木工程学院，郑州 450001；
5 2. 华北水利水电学院土木与交通学院，郑州 450011）
摘要：提出使用第二代小波分解的小波能量变化率指标进行结构损伤识别的方法。利用第二
代小波分解的特性，将结构动力响应信号分解为多个小波组分信号，通过各组分信号小波能
量变化和小波能量变化率识别结构损伤和确定损伤位置。数值仿真模拟表明：第二代小波能
量分布对结构损伤比较敏感，在结构损伤位置，第二代小波能量变化率指标和置信上限之差
10 远远高于其它测点，可以用第二代小波能量变化率指标判定结构损伤位置；噪声对使用第二
代小波能量变化率指标进行结构损伤识别的影响较大，应先对现场采取的动态信号进行降噪
处理，再应用第二代小波能量变化率指标对结构进行损伤识别，可较好地识别出结构的损伤
位置；该方法步骤明确，便于计算机实施。
关键词：损伤识别；第二代小波变换；能量变化率；噪音
 0 引言
40 科技工作者提出了很多构造小波及其滤波器组的方法，为信号处理和工程应用提供了丰
富的小波基函数。这些小波基函数都是在欧氏空间内通过基底的平移和伸缩构造的，其基本
的变换工具是傅里叶变换，因此又被称为第一代小波变换，不适合于非欧氏空[1-5]。1995 年，
Sweldens 在总结了Donoho 和Lounsbery 等人研究工作的基础上，提出了一种在时域中采用
提升方法构造小波的第二代小波方法[6]。第二代小波与第一代小波相比有很多优点[7]：它不
45 依赖于傅里叶变换，完全在时域中完成对双正交小波的构造,具有结构化设计和自适应构造
 方面的优点；构造方法灵活,可以从一些简单的小波函数,通过提升改善小波函数的特性，从
而构造出具有期望特性的小波，对于现有的第一代小波，都能找到相应的提升方案，从而得
到相应的第二代小波；不再是某一给定小波函数的伸缩和平移,它适合于不等间隔采样问题
的小波构造；算法简单,运算速度快等。正是由于这些优点,第二代小波作为一个全新的信号
50 处理工具,在很多领域已经显示了它的优越性[8,9]。本文探讨第二代小波在梁桥结构损伤检测
中的应用。
1 第二代小波分解与能量变化率指标
1.1 小波包分解
根据小波包空间剖分的完整性，可知小波包分析能将动态信号无冗余、无疏漏、正交地
55 分解到各个独立的频带内，这样就可精确计算出小波包分解后的各频带能量。结构动力响应
初始信号f (t) 经j 水平的小波包分解之后可表示为[7]：
j
2
1
1
( ) ( )
j
i
j
i
f t f t −
=
= Σ ，2 (1)
小波包组分信号f i (t)
j 可以用小波包函数( ) , i t
j k ψ 的线性组合来表示：
( ) ( ) ( ) , , f t c t i t
j k
k
i
j k
i
j ψ Σ∞
=−∞
= (2)
小波包系数( ) , ci t
j k 60 可以通过式(3)获得：
c t f t i t dt
j k
i
j k ( ) ( ) ( ) , , ∫ ψ ∞
−∞
= (3)
小波包函数的正交特性可表示为：
( ) ( ) 0 , , t n t =
j k
m
j k ψ ψ 当 m ≠ n
小波包树的每一组分可以看作对应于特定基函数的调谐滤波器的输出量，因此整个小波
65 包树可以看成一个滤波库。对应于小波包的顶层（低水平分解），信号的小波包变换结果对
于时域具有很好的分辨率，而频域分辨率较差；而小波包的底部（高水平分解），情况恰恰
相反。
1.2 第二代小波包能量变化率指标
第二代小波的构造详见文献[6]。第二代小波的尺度函数和小波函数是对称的、紧支撑
70 的，具有振荡衰减的形状，这与结构出现损伤时的振动信号波形相似。因此，选用它作为基
函数，在第二代小波变换的基础上，可以对结构损伤进行识别。
在正交分解条件下，首先定义在j 水平下的信号能量f E ：
2( ) f j E f tdt ∞
−∞
= ∫ (4)
动态信号经第二代小波分解后，由第二代小波正交性可知：
j
j j
d a
j 1
f j E E E
=
75 =Σ + (5)
式中，小波组分能量j
d E 和j
a E 可以认为是存储于组分信号f i (t)
j 中的高频和低频能量。
 ∫ ∞
−∞
E = f i t dt
f i j
j
( )2 (6)
可以看出组分信号f i (t)
j 是由小波函数( ) , i t
j k ψ 在相同尺度j 下的在时域− ∞ < k < ∞ 变
换下叠加而成的，即组分能量i
f j E 是由小波函数( ) , i t
j k ψ 所确定的频率带内的信号能量。式
80 （5）可以解释为信号总的能量可以看成对应于不同频率带内的小波组分能量之和。
第二代小波组分能量对于信号特性的变化是十分敏感的，它可以用来揭示信号的固有特
征，因此可应用第二代小波的能量变化率指标对结构损伤位置进行判定。在j 水平下，采用
式（6）计算信号的组分信号能量i
f j E ，对没有损伤的信号所计算的组分能量表示为f i a
j
(E ) ，
具有损伤的组分能量表示为f i b
j
(E ) ，则定义j 水平下信号的小波组分能量变化率( ) Δ E f j 为：
j 1
1
( ) ( )
( )
( )
i i
j j
j
i
j
f b f a
f
i f a
E E
E
E
+
=
−
85 Δ =Σ (7)
小波组分能量变化率( ) Δ E f j 对信号变化特征比较敏感，可通过具体数值对损伤进行判
定，容易在计算机上实施。
2 基于第二代小波结构损伤识别
基于第二代小波组分能量变化率指标的结构损伤识别方法采用了与基于第一代小波包
90 能量变化率指标[10~12]相同的两个重要假定：（1）有损伤和无损伤的结构动力响应信号都是
可以得到的；（2）结构所受到的激励必须在同一位置且是同一类型的荷载。基于第二代小
波小波组分能量变化率指标的结构损伤识别方法的具体过程为：（1）对通过传感器所采集
的结构动力响应信号进行第二代小波包变换，小波包变换的分解水平应根据结构的类型和损
伤程度综合确定；（2）计算结构动力响应信号的小波包能量变化率指标；（3）进行结构损
95 伤识别。本文采用单边置信区间的统计指标来识别结构损伤[8]。
若用n 表示布置在结构上的所有传感器数目，则经过第二代小波分解后可以得到n 个小
波组分能量变化率指标。对这些指标进行数理统计， WPERI μ 和WPERI σ 分别表示能量变化率指
标的均值和方差，则对应于置信水平(1-α)的单边置信限为：
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= +
n
UL Z WPERI
WPERI
σ
μ α (8)
式中， α 100 Z 为对应于标准正态分布的累积概率为100(1 −α )%时的置信限。
此限值可以作为第二代小波组分能量变化率指标对于结构损伤的预警值，如果结构的第
二代小波组分能量变化率指标超过此限制，则表明在100(1 −α )%的概率下，结构存在损伤。
3 结构损伤识别数值模拟
为了验证采用第二代小波包能量变化率指标进行结构损伤识别的准确性，以简支梁为研
105 究对象，梁长为6 m，被分成30 个单元，如图1 所示，简支梁的密度和弹性模量分别为
7800kg/m3 和2.0×105MPa，梁横截面面积和惯性距分别为0.02m2 和1.6667×10-5m4。为了模
拟实际的冲击荷载，采用矩形冲击荷载模型，荷载幅值为100N，持时为0.005s，作用点距
简支梁左端0.4 m 处。通过Ansys 有限元程序计算得到冲击荷载作用下简支梁有限元节点位
 移动力响应信号，采样频率1000 Hz。在此算例中，将位移动力响应信号看作测量的结构动
110 力响应信号进行数值仿真模拟。
在数值仿真模拟中，设定3 种不同结构损伤程度和位置，结构损伤程度的改变采用降低
单元刚度来实现。为了叙述简便，将没有损伤的简支梁标记为D0，具有损伤的简支梁依次
标记为D1～D3，具体损伤工况如下：工况1（D1）：第15 和16 单元的刚度降低20％；工
况2（D2）：第8、9、15 和16 单元的刚度均降低10％；工况3（D3）：第8、9、15 和16
115 单元的刚度均降低20％。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5 16 1 7 1 8 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
图1 模拟简支梁
Fig. 1 Simulation of a simple supported beam
120 3.1 基于二代小波能量变化率的损伤识别算例
选择双正交小波bior1.1 的提升小波对简支梁的29 个节点动力位移响应信号进行水平8
的小波分解，则每个节点有9 个组分分量。为了进一步了解分解水平对识别结果的影响，同
时也对所有节点的位移响应信号进行9 水平分解，相应有10 个组分能量。两个水平的计算
结果基本一致，可以认为采用分解水平8 时，即可满足识别精度。
125 首先对所有结构位移动力响应信号进行分解，其次采用式（7）计算每一个节点的第二
代小波组分能量变化率指标( ) f j Δ E 。对于有损伤的简支梁，可以得到29 个第二代小波能量
变化率指标值，统计分析这29 个第二代小波能量变化率指标：首先计算均值WPERI μ 和方差
WPERI σ ，假定α = 0.02 ，则对应于置信水平为98%的第二代小波组分能量变化率指标的置信
上限UL 可通过式(8)获得。对于有损伤的简支梁，可以将小波组分能量变化率指标和置信上
130 限UL 之差与简支梁有限元节点号绘成柱状图（图2），从图2 中可以判定损伤的位置：在
图2（a）中可以明显看出，在节点14、15 和16 上出现的小波能量变换率指标较大，可以
判定在这些节点之间存在损伤，这较好地指出了简支梁的损伤位置；在图2（c）中，在节
点6、7、8、9、13、14、15 和16 上出现的小波能量变换率指标也较大，也较好地指出了简
支梁的损伤位置。采用以上方法，可以较好地从柱状图中判定出3 种损伤位置。
135
(a) D1 (b) D2
 (c) D3
140 图2 损伤梁的柱状图
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