一种新的扩频码对通信系统影响的研究
李凤雷，李艳萍**
作者简介：李凤雷，（1986-），男，硕士研究生，混沌通信
通信联系人：李艳萍，（1963-），女，教授，移动通信、混沌通信. E-mail: lifenglei2049@163.com
（太原理工大学信息工程学院，太原 030024）
5 摘要：笔者于文中提出了一种基于logistic 映射和chebyshev 映射的二级并联混沌系统，
经过仿真分析得出，此混沌系统产生的扩频码的有非常优良的归一化自相关；互相关特性曲
线没有任何的尖峰脉冲出现并且波动范围小于正负0.07；并且它有类似于白噪声的功率谱。
经过分析得出利用序列均值作为判决门限所生成的二值序列也拥有良好的自相关和互相关
特性。并且通过搭建CDMA 通信系统模型，系统的分析研究了扩频增益G、信噪比、用户数、
10 不同扩频码对系统误码率的影响,进一步检验了此混沌序列在通信系统中的性能。
关键词：扩频通信；logistic map；chebyshev map；Matlab Simulink
 30 0 引言
通信技术是经济和军事的生命线，而保密技术亦是通信系统中的核心的技术之一。混沌
保密通信技术和混沌扩频通信技术的发展和应用也将是保密通信和信息安全技术的重中之
重。
CDMA 扩频通信作为一种先进的新型通信方式，具有抗干扰、保密、抗侦破和抗衰落
35 等优点，具有广阔的应用前景。从理论上来讲，独立的、有尖锐峰值的自相关和平缓接近于
零的互相关以及均匀分布的随机序列是扩频码的理想模型。在现在的扩频通信系统中，m 序
列和gold 序列的应用十分的普遍。但是这些传统的伪随机序列存在的致命的缺陷，比如复
杂度低、互相关函数存在大量的尖峰脉冲，最重要的是它们的序列长度和数量都有限。在信
息时代，随着通信用户的增多，对通信系统容量的要求势必会越来越高，而原有的扩频码必
40 然无法满足未来通信系统对于通信容量以及保密性能的要求。混沌序列因其序列数量巨大以
及拥有非常好的自相关和互相关等优点，很适合作为扩频码应用在通信系统中。并且混沌序
列用作地址码，保持了混沌系统的特性，避免了混沌同步建立和保持困难，是混沌应用于通
信系统较有发展前途的方式[1]。
 1 基于logistic 映射和chebyshev 映射的新的混沌系统的设计
45 1.1 Logistic map
Logistic 映射是一种一维的混沌映射[2]，它的方程形式为：
1 , [ 1,1] 2
1 = − ∈ − n + n n x ux x (1)
上式中：u 为logistic 映射的参数，当参数u ∈ (1.99,2] 时将产生最佳的混沌序列[3]。
1.2 Chebyshev map
50 Chebyshev 映射是一种一维的混沌映射，其方程形式如下：
cos( * arccos( )), [ 1,1] 1 = ∈ − n + n n x a x x (2)
上式中：a 为chebyshev 映射的阶数，已有研究结果表明当a>2 时此chebyshev 映射就
会具有正的lyapunov 指数，表明系统进入混沌工作区，产生混沌序列。当参数a 接近于4
时，对于chebyshev 映射来说，生成的混沌序列的特征较好[4]。
55 1.3 二级并联混沌系统的设计
文章中基于logistic 映射设计了一个二级并联混沌系统，系统的构造如下图所示：
图1 二级并联混沌系统
60 图1 中所描述的多级并联系统中logistic map 和chebyshev map 的确定性方程如式（1）
和式（2）所示。
此二级并联混沌系统生成混沌序列｛xn｝步骤如下：
（1）、首先确定系统参数：初值x0，a 以及u，系统共迭代N 次，其中P1 和P2 两个
子系统各迭代N/2 次。
65 （2）、初始时刻i=0 （系统每运行一次，i=i+1），因此P1 和P2 两个子系统是在交替
运行。初始时刻（即i=0）将初始值x0 输入到P2 子系统中，并且x0 只作用于i=0 时刻。此
后，当mod(i,2)~=0 时，将系统的上一个输出值作为输入值输入到P1 子系统；当mod(i,2)==0
时，将输出值作为输入值输入到P2 子系统。延时线表示的是P1 的输出序列作为输入序列
输入到P2 子系统中；同样，P2 的输出序列将作为输入序列输入到P1 子系统中。子系统P1
70 和P2 的输出序列共同组成系统的输出序列｛xn｝。
 2 matlab 仿真实验
为了验证混沌序列{xn}的性能，文中利用matlab 仿真软件对所设计的二级并联混沌系统
所生成的混沌序列{xn}进行归一化自相关特性和归一化互相关特性，初值敏感性以及
lyapunov 指数进行了仿真研究。以下是仿真得到的结果：
75
图2 matlab 仿真图形
2.1 初值敏感性
在对系统的初值敏感性[5]进行仿真时，初始值的选取如下：{xn}：x0=0.7，u=1.999，a=6
80 迭代次数N=3000； {yn}：x0=0.7+10-16，u=1.999，a=6，迭代次数N=3000。在系统迭代1000
次以后开始将所产生的混沌序列截取为输出序列｛xn｝。
图2 中初值敏感性实验图形显示：当初始值仅仅变化10-16 时，所产生的两个混沌序列
不重合，几乎完全不同，这说明此二级并联混沌系统拥有非常好的初值敏感性。相差甚微的
两个初始值即可产生完全不同的混沌序列{xn}，理论上产生的混沌序列的数量为无限大。
85 2.2 相关特性
相关性是描述随机和类随机过程的一个很重要的尺度，特别是对于混沌扩频通信系统而
言，扩频序列的相关性是影响系统性能的主要因素之一，所以我们有必要对上述混沌序列的
相关性进行分析研究。
对于一个混沌序列{xn}，它的均值为：
 但是在一般情况下，我们只关心归一化的自相关函数：
( ) ( )/ (0) x x x r m = R m R (5)
95 考虑上述混沌系统产生的两个完全不同的混沌序列｛xn｝和｛yn｝，其互相关函数为：
 我们同样也可以得到它的归一化互相关函数：
( ) ( )/ (0) (0) xy xy x y r m = R m R R (7)
在对序列{xn}的自相关性进行仿真时，所采用的初始值为：x0=0.7，u=1.999，a=6 迭代
100 次数N=3000。
由图2 中的归一化自相关图像知：序列{xn}归一化自相关函数值在时间间隔t=0 时为1，
而在时间间隔t 不为0 时幅值不大于0.05，即此序列拥有尖锐的归一化自相关特性。
在对混沌系统所产生的两个混沌序列{xn}和{yn}的互相关特性进行仿真分析时初始值
为：{xn}：x0=0.7，u=1.999，a=6 迭代次数N=3000； {yn}：x0=0.7+10-16，u=1.999，a=6，
105 迭代次数N=3000。
图2 中的互相关图像说明二级并联混沌系统生成的混沌序列的归一化互相关幅值不超
过0.07，说明此混沌序列的互相关曲线非常平缓。
2.3 Lyapunov 指数
Lyapunov 指数描述了混沌轨迹随着初始值的微小变化而以指数速率迅速分离的程度，
110 它是混沌对初始值敏感性的定量描述。
我们知道判断一个系统是否已经进入混沌状态，最直接的依据就是看系统是否具有正的
lyapunov 指数，当系统具有正的lyapunov 指数时系统进入混沌区。
lyapunov 指数的定义[6]：
ε
ε
λ
ε
( ) ( )
ln
1
( ) lim lim 0 0
0
0
f x f x
N
x
N N
N
− −
=
→∞ →
(8)
其中：x0 和− ε 0 x 分别是两个初始值，它们之间相差ε ， ( ) 0 f x − ε N 和( ) 0 f x N 115 分别
为x0 和− ε 0 x 经过N 次迭代后的值。
由于二级并联混沌系统中含有两个参数a 和u，所以需要同时分析a 和u 对lyapunov 指
数的影响。
由图2 中的lyapunov 指数三维图形中可以看出：在a>0 且u>0 时系统拥有正的lyapunov
120 指数，系统此时已经是混沌系统。
3 二值序列
3.1 生成二值序列
为了将上述混沌系统产生的伪随机序列转换为二值序列，我们需要选取一个判决门限，
为了让0 和1 的个数尽量相等或近似相等，此处我们选取混沌序列的均值作为判决门限：当
125 混沌伪随机序列值大于均值时，我们将其判决为1；当混沌伪随机序列值小于等于均值时，
我们将其判决为0。所生成的二值序列我们记为｛xn｝，即 { 1 ;
0 ;
x x
n x x
n
n
X >
≤ = (10)
其中
Σ−
=
=
1
0
1 N
n
n x
N
x (11)
 130 下面文中将通过二值序列的一些特性来说明它在未来扩频通信中的可实用性。
3.2 随机性
对于伪随机序列，Golomb 提出了其应当满足3 个公设[7]：（1）在序列的一个周期内，
0 与1 的个数至多相差为1，即接近等概率。（2）在序列的一个周期内，长度为1 的游程占
游程总数的1/2，长度为2 的游程占1/22，……，长度为n 的游程占1/2n，且在等长的游程
135 中，0 游程和1 游程约各占一半。（3）自相关函数：
(常数），其中0 N 1 。
1
( )
1 Σ=
+ = = < ≤ −
n
i
i i k k C
N
R τ τ τ (12)
3.2.1 平衡性
表1 序列平衡性
N 2000 5000 10000 15000
N1 999 2473 4922 7389
N0 1001 2527 5078 7611
140
表1 中N 表示序列｛xn｝的码长，N1 表示序列中所含1 的个数，N0 表示序列中包含0
的个数。由表1 中的数据可以看出此二值序列中0 与1 大致相等，虽然混沌序列不严格满足
第一个公设，但是由于序列的长度很大，0 和1 的出现接近等概率，而平衡性所要求的正是
0 和1 出现的概率相等，所以此序列的具有很好的平衡性。
145 3.2.2 序列游程
表2 序列游程数
N 2000 5000 10000 15000
n1 1031 2495 4997 7459
n2 503 1262 2520 3757
n3 242 643 1252 1894
n4 122 324 639 968
n5 51 151 314 486
n6 32 70 155 237
n7 13 32 71 114
n8 4 11 30 50
表2 中N 亦表示二值序列{xn}的码长，n1，n2……n8 分别表示长度为1，2……8 的游程
150 个数，经过对表中的数据进行分析得出：长度为1 的游程近似占总数的一半，长度为2 的游
程近似占1/22 ……长度为8 的游程占1/28，因此可以得出：长度为n 的游程近似占总数的
1/2n。满足假设中的游程特性。
3.2.3 相关性
 图3 序列相关性
图3 中的自相关是以公式（12）计算得出的二值序列的自相关函数值。仿真条件为：序
列长度N=10000，时间间隔为1~9999。其中右图是将左图时间间隔τ 在1~100 范围内的自
160 相关放大得到，以便阅读分析。由图3 可知序列自相关近似为一个常数，约为0.243，波动
范围为± 0.005 ，满足关于随机性的公设。
可见文中提出的混沌系统产生的混沌序列具有良好的随机特性，可以近似作为随机序
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