面向三维崎岖地形的移动机器人力优化与仿真#
何龙，徐贺，武永见**
基金项目：国家自然科学基金项目（60775060）；黑龙江省自然科学基金项目（F200801）；高等学校博士
学科点专项科研基金（200802171053，20102304110006）
作者简介：何龙，（1986 -），男，哈尔滨工程大学在读硕士，主要研究方向：机器人技术
通信联系人：徐贺，（1964 -），男，博士，教授，副博士生导师。主要研究方向：特种机器人技术、微弱
信号处理和多场耦合系统等. E-mail: railway_dragon@163.com
5 （哈尔滨工程大学机电工程学院，哈尔滨 150001）
摘要：通过力矩控制对移动机器人进行驱动，可以尽量避免机器人的轮子产生滑移，使机器
人具有良好的机动性和通过性。本文基于三维崎岖地形，对移动机器人进行准静态力分析与
优化，并进行仿真。仿真结果清晰的表达出机器人轮子上力的分布情况，为实现移动机器人
力矩控制提供了理论基础。
10 关键词：移动机器人；崎岖地形；力优化；仿真
 25 0 引言
移动机器人是机器人学中的一个重要组成部分，它是一个包含运动控制、环境感知、动
态决策与路径规划等多种功能的综合系统。随着研究的深入，移动机器人的技术也不断的发
展完善，在现代生活中的应用也越来越广泛，使农业[1]、消防[2]、行星探测[3]和采矿[4]等不
同领域的取得了重大的进展，对现代的人类生活具有重大的意义，也给当今社会产生了重大
30 的变化[5][6]。
机器人在运动过程中，牵引力不足会使其不能运行，导致任务失败；而过量的牵引力可
能导致车轮打滑并使机器人失去移动性或者偏离它原先的路径。所以对移动机器人进行力优
化可以避免机器人产生滑移，同时使机器人具有良好的移动性和通过性。
本文通过对移动机器人在崎岖地形上的准静态的力分析，优化得出机器人在运动过程中
35 所输出的牵引力，并在三维地面上进行仿真分析，为实现移动机器人的力矩控制提供了理论
基础。
1 移动机器人运动学模型
机器人运动学是研究机器人最基本的分析。为了能对机器人更好的控制或者仿真，使机
 器人具有更好的自主适应的能力，必须建立相应的运动学模型。
40 描述机器人在崎岖地形下运动，首先引入欧拉角（Ψ Φ Θ）表示机器人车体坐标系在世
界坐标系中的姿态关系（偏航角、俯仰角和侧倾角），欧拉角的定义如图1 所示。偏航角Ψ
为车体坐标系绕世界坐标系Z 轴的旋转角度,俯仰角 Φ 为绕世界坐标系的Y 轴旋转的角度，
Θ为绕世界坐标系X 轴的旋转角。
45 图1 机器人运动学描述
Fig.1 The robot kinematics description
经过复杂的推导，得出采用欧拉角表示的车体坐标系在世界坐标系中的变换矩阵TW,R
为：
 世界坐标系W 到轮-地挤出坐标系C 的变换矩阵为：
TW,C =TW,R⋅TR,A⋅TA,C （2）
其中TR,A为车体参考坐标系R 到轮心坐标系A 的变换矩阵；TA,C 为车轮中心坐标系A
到轮地接触点坐标系C 的变换矩阵。
定义轮子与地面接触点的位置和姿态向量为[ ]T 55 px py pz ϕ φ θ 因此有：
 其中，TW,C [m,n] 代表矩阵TW,C 的第m 行n 列元素(m,n=1∼4)。通过以上齐次坐标
变换不仅可以推导出了机器人轮-地接触点在世界坐标系下的位置，若联立崎岖地面数学模
型，还可以建立机器人的姿态估计模型。
60 2 准静态分析
准静态下的力分析是移动机器人运动分析的另一个重要部分。分析的目的就是使机器人
在运动过程中能产生足够大的车轮的牵引力，来保证机器人的正常行驶。在这个小节中，将
对一个四轮铰接机器人进行分析。假设机器人各部件均为刚体，相互之间为刚性链接，且没
有弹性变形；假设轮子与地面为点接触；假设机器人的重心固定在车身中心不变，并且，各
65 个部件的质量都集中在其中心。
如图2 所示，一个四轮移动机器人行驶在崎岖地面上，其中C M 为整车车体重心；坐标
系原点与重心重合；向量i P 表示为各个车轮与地面接地处的接地点，方向是从轮子与地面
接触点指向车体重心；向量 [ ]T
i i i i f =T N L ，i = {1∼4} ，表示为轮子与地面相互作用
所产生的力。在车体重心处的S f 表示为由惯性力、牵引力、重力和其他由于与周围环境或
70 者与其他机器人产生的作用力等各个力的产生的总的影响力。注意的是，在所需的运动方向
上， S f 是输入量，所以，如果能给机器人提供一个向量S f ，那么，移动机器人就可以按照
给定的方向进行运动。
图2 崎岖地面机器人准静态力分析
75 Fig.2 Quasi-static force analysis of a robot in rough terrain
按照图二所示的准静态力分析，可以列写出一个四轮移动机器人的力平衡方程，如下：
 80 上述公式中， I 是一个3×3的单位矩阵，这个平衡方程可以写成紧凑的形式：
 Gx = fS （5）
其中，G 表示为一个6×12位置矩阵； x 表示为未知向量12×1的矩阵，里面包含着机
器人四个车轮的牵引力，支撑力和侧向力； S f 表示为机器人总的影响力，是一个6×1的矩
阵。x y z F ,F ,F 表示为总影响力在各个方向上的分力， x y z M ,M ,M 表示为总影响力在各个方
85 向上的力矩。
公式（5）大致可以表示成为求解力分布的一般公式[7]，在这个平衡方程中，存在6 个
方程，12 个未知数，因此，形成一个不定方程组，存在无数多组的解，换句话说，存在无
数个接地点力向量i f 来满足车身向量S f 。
对于解决不定方程的问题，有很多方法可以运用，最常见的有线性规划算法[8][9]；对偶
90 线性规划算法[10][11]；二次规划算法[12][13]；解析方法[14][15]。运用这些方法可以优化得到方程
组中最优的一组解。一般来说，对解决力分布的问题，都会存在优化的准则，也就是说目标
函数，所以，得出来的解有可能是局部最优解。
如果不能找到能满足公式（5）的轮子与地面接触的力向量i f ，那么机器人就不会按照
所计划的方向运行。相反，如果存在一个大的解集来满足公式的向量i f ，那么说明该地形
95 可顺利通过。因此，对于机器人的通过性能来说，力分析是非常重要的部分。
3 地面参数估计
在崎岖地面的移动性能分析中，轮子与地面的相互作用关系扮演着至关重要的作用[16]，
因此，估算出关键的地面参数的数值是非常重要的。对于地面参数的估计，首先要建立轮子
与地面相互作用模型，其中两个最为关键的参数就是土壤内聚力c 和土壤内摩擦角φ ，这两
100 个可以帮助计算出土壤的剪切强度。必须要强调指出，力分析问题的求解必须要服从相应的
物理限制条件：牵引力的大小不能超过地面所能承担的最大剪切力。
如图3 所示，机器人的一个刚性车轮在变形的地面上行驶。其中，W 为垂直负载；DP
为牵引力，这两个力均作用在车轴上；M 是驱动转矩；ω 为角速度；V 为线速度；θ 为轮
地作用角； 1
θ 为进入角， 2
θ 为离开角； m θ 为最大应力角； 1
σ 为最大应力处的区域； 2 σ 为
105 最大应力处到车轮与地面刚离开时的区域；在接触面某个给定的点上，此处的应力可分解为
与接触面垂直的力σ ，与车轮相切的力τ 。h 为车轮下沉量；车轮半径为r ；车轮宽度为b 。
图3 车轮与地面相互作用分析
Fig.3 The interaction analysis of the wheels and ground
110
由整个车轮系统的力平衡条件可以得出：
 115 具体的研究方法，文献[17]已经给出，此处不做详细介绍。假设最大剪切应力与最大正
应力发生在相同的m θ 处，且1 2 ( )2 m θ = θ +θ ， 2 θ = 0 ，则：
 其中s 为轮子滑移率，表示为s=(rω −v)rω 。
上式（9）是在假设车轮为刚性轮的情况下求得的，但是，在实际情况中，轮子与地面
120 的模型的建立是比较困难的，因为在运动过程中，车轮会滚动在不同的地形与土壤中，所以，
其参数的值也是在不停的变化。
基于仿真需要，假设机器人在沙地上运动，根据上述文献可知，土壤内聚力c = 1.04 ，
土壤内摩擦角φ =30°。
4 接地角估计
125 车轮与地面的接触角度是非常重要的机器人几何参数，因为这些角度极大的影响车轮上
力的分布。本节基于机器人空间刚体速度来对接地角进行估计。
将机器人两侧车体简化为崎岖地面上的两轮系统，如图4 所示。假设机器人与地面均为
刚体，且轮子与地面为点接触。在图中，前轮的接地点出的地面坡度角分别为1 γ 、2 γ ；后
轮处为别为3 γ 、4 γ 。每侧车体前后车轮轮心连线与水平之间的夹角为ϕ ，轮心距为l ，轮1
和轮3 的速度分别为1 v 和3 v ，轮2 和轮4 的速度分别为2 v 和4 130 v 。
基于这个四轮系统，可列方程组：
 式（10）第一个方程表达了前后两轮之间的速度关系；第二个方程描述两轮轮心速度与
俯仰角速率之间的关系。
 图4 基于刚体运动的接地角估计
Fig.4 The wheel-terrain contact angle estimation
将式（10）合并，可以得到：
 （13）
其中(1/ 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 j j j j j j j j 145 h= a a+b+ab−a−b− ，(j =1,2)。
以上的分析中要给出三点条件限制：
（1）机器人不能处于静止状态；
（2）车轮的接地角不会为±90°；
（3）当2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 0 j j j j j j a + b + ab −a −b − < ，(j =1,2)时，可以用前一时刻的接地
150 角代替当前时刻的接地角[18]。
5 优化准则与限制条件
为了机器人能工作更长的时间，并且依然可以完成任务，那么，要求最优化各个轮子的
力，保证其提供最大的牵引力，同时，在运动中，又要尽量减少能量消耗，则：
 =Σ ⋅ 为移动机器人电机消耗的能量；
 r -车轮半径；
R -电机电阻；
t K -力矩常数；
160 imotor -减速比；
motor η -效率。
优化问题的关键问题就是要遵守移动机器人的物理限制：
（1）保证轮子与地面时时接触，即： 0 i N > ；
（2）牵引力不能超过地面所能承受的范围，i i max T S ≤τ ， i S 为轮子与地面的接触面积。
（3）车轮的电机都不超过饱和状态： min i max 165 M <M<M ， i = {1∼4} 。
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