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基于遗传优化的四杆机构四位置综合
王光明，史立新*
作者简介：王光明，（1986-），男，硕士研究生，主要研究方向为机构学、模具CAD/CAM 一体化技术.
通信联系人：史立新，（1967-），男，副教授，主要研究方向为机械设计理论、机械动力学。 （南京农业大学工学院，南京 210031）
5 摘要：四杆机构的四位置综合，由于在求解过程中存在较大的盲目性和强约束性，要找到一
种既满足导引要求，又兼顾性能的机构是异常困难的。本文基于Burmester 理论，建立了圆
心曲线的参数方程以及圆心曲线到圆点曲线的变换公式，并给出了缺陷机构的甄别算法。在
此基础上，提出了基于遗传算法的优化数学模型。本文以Matlab 为平台，通过实例证实了
该方法的有效性和实用性，为解决四杆机构四位置综合问题提出了新方法和新思路。
10 关键词：机械设计及理论；遗传算法；刚体导引；Burmester 曲线
中图分类号：TH112.1
Synthesize Four-bar Linkages for Four Specified
Orientations Based on the Genetic Algorithm
15 Wang Guangming, Shi Lixin
(College of Engineering, Nanjing Agricultural University, NanJing 210031)
Abstract: Because of the big blindness and strong constraint conditions for the synthesis problem
of four-bar linkage for four specified orientations, it is difficult to find a mechanism both to meet
the synthesis task and the kinematics performance. Based on the Burmester theory, this paper
20 builds the parametric equation of center curve and the transformation formula from center curve to
circle curve, and gives the defect discrimination algorithm. On this basis, the optimization model
for synthesis based on genetic algorithm is proposed. In this paper, a program of Matlab was
developed to realize the effectiveness of the method and give a new idea to solve such synthesis
problems.
25 Keywords: Machine design theory; Genetic algorithm; Rigid-body guidance; Burmester curve
0 引言
四杆机构的四位置综合，即给定平面上4 个导引位置（用导引点坐标i p ( i = 1,2,3, 4 )
及相对转角i Δδ 表示），要求设计一四杆机构，使其连杆在运动中精确通过4 个给定位置（如
30 图1 所示）。解决该类综合问题的经典方法是绘制Burmester 圆心曲线和圆点曲线。Burmester
理论指出[1]，任意两个圆心曲线点（或圆点曲线点）可以产生一组满足导引要求的四杆机构。
由于圆心曲线点选取的随意性，导致了该类综合问题求解的盲目性和复杂性。为此，本文提
出了遗传优化的解题思路，在综合过程中充分考量机构性能，从而获得既满足导引要求又具
有良好性能的四杆机构。
图1 四杆机构四位置综合问题
Fig. 1 Synthesis problem of four-bar linkages for four specified orientations
1 理论基础
40 1.1 圆心曲线的求解
如图1 所示，将坐标原点移至极点12 P ，可以推得圆心曲线的代数方程为[2]：
2 2 2 2
2 1 12 21 3 12 21 3 4 13 24 31
4 2 1 4 2 3 3 2 4 1
( )( ) ( ) ( ) 2 (
) ( ) 0
x y jx jy jk jk j x jk jk j y jxy jk jk jk
jk x jk jk jk jk y
+ − + − − + − + + + − + + −
+ + − − =
(1)
式中，
1 13 24 2 13 24 3 13 24 13 24 4 13 24 13 24 1 23 14 1 2 23 14 2
3 23 14 14 23 3 4 23 14 23 14 4
, , , , , ,
,
k x x k y y k x y y x k x x y y j x x k j y y k
j x y x y k j x x y y k
= + = + = + = − = + − = + −
= + − = − −
且ij x 和ij y 分别为对应于极点ij 45 P 的笛卡尔坐标。以实焦点双支圆心曲线为例，据射影几
何及解析几何原理，可由式1 解出圆心点坐标为[3]：
取“ ”，否则取“ ”
令h=t⋅ tanλ φ ，其中，t 为与曲线范围有关的常量，λ 为与圆心点密度分布有关的常
量。在式2 中，取ϕ ∈(−90°,90°)，在式3 中，取ϕ ∈ (90°, 270°) ，这样，便可将式1 表
达为关于ϕ ∈(−90°, 270°) 上的参数方程，为符合表达习惯，也可将其规整到区间
55 ϕ ∈(0°,360°) 。对于其它形式的圆心曲线，如带结点的单支圆心曲线等，可做类似的转换。
1.2 圆点曲线求解
由于在圆心曲线求解过程中缺乏关联信息，故而借助于矢量消元法建立圆点曲线的数学
模型。在图1 所示四杆机构中，仅讨论左侧二杆组2 r 和5 r ，由圆心点坐标0 A 求圆点坐标i A 。
四杆机构各参数满足方程（由矢量消元法导出，过程略）：
由V 的符号可知，所得圆点坐标有两组解，只有一个是待求的i A ，判别方法是[4]：在
该处，矢量5 r 的幅角应该是0 i δ + Δδ 。
任选两个圆心曲线点及相应的圆点曲线点，连接起来即构成所需要的四杆机构。
1.3 综合实例
85 给定以下连杆位置参数（表1），由前述方法获得的Burmester 曲线及所综合机构（任
意指定两圆心点）如图2 所示。
表1 给定连杆位置
Tab. 1 Specified orientations
位置i 导引点横坐标Xi 导引点纵坐标Yi 连杆转角△δi
1 1 0 0°
2 1.5 0.8 10°
3 1.6 1.5 20°
4 2 3 60°
90
图2 Burmester 曲线及所综合机构
Fig. 2 Burmester curve and the four-bar linkage acquired
2 四杆机构四位置综合在优化中面临的问题
95 2.1 优化模型的建立
不同于四杆机构的近似轨迹综合，精确位置综合在直观上难以建立相应的优化模型。首
要问题是解决优化变量的选择。如果以两个圆心点的笛卡尔坐标( , ) m m x y 为优化变量，要在
某二维矩形区域X ×Y 中搜索可行的圆心点，则事先必须确保圆心曲线经过该区域，否则根
本没有可行解，即便圆心曲线经过该区域，搜索效率也是相当低的。前面已经指出，圆心曲
100 线可以表述为关于ϕ ∈(0°,360°) 的参数方程，因此，任意一个圆心点存在映射关系
( , ) m m ϕ → x y ，即可以将参数ϕ 作为优化变量，从而使得搜索过程沿圆心曲线进行，显然
更具有针对性。于是，优化模型可表述为：
1 2
1 2
min ( ) [ , ]
. . ( ) 0 1,2, ,
, (0,2 )
T
i
f
st g i n
φ φ ϕ ϕ
φ
ϕ ϕ π
⎧ =
⎪
≤ = ⎨⎪
⎩ ∈
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