排列组合中的易混淆问题的辨析

摘  要：在实际的学习过程当中，不少同学反映排列组合这部分知识太难掌握，这主要是因为它的内容独特，思维新颖，方法灵活，学生普遍感到不知如何思考，在解决排列组合问题时易犯各种各样的错误。有些排列组合问题看起来差不多，仅仅是几个字之差，但实际上表达的意思却完全不同，如果不认真分析，很容易将问题弄错，其主要成因就是排列组合中有许多极为相象的问题易使人混淆。本文针对这种现状，根据学生学习该部分知识时易犯错误的主要成因，采用分析具体问题的方式，对排列组合中的六个易混淆知识点进行辨析，进而总结出一定的规律和方法，希望能对学习该部分知识的初学者们带来帮助。
关键词：排列；组合；概率；数理统计

1  前言
排列组合是一种基本的计算方法，在近代科学研究中有其重要地位，它是学习概率的基础，也是进一步学习数理统计，近世代数和其他高等数学分支的必备知识。同时它在生产实际和现实生活中也有广泛的应用。
中学阶段解决排列组合问题常用的分析方法有：
（1）直接解法：(分步法—用乘法原理；分类法—用加法原理) ——可先考虑特殊元素，然后再考虑一般元素，也可先考虑特殊位置,然后再考虑一般位置，这要根据具体问题而定。
（2）间接解法：(排除法、淘汰法) ——用不变条件限制的总排列数减去不符合条件的排列数。
（3）捆绑法：该方法主要用于解决元素相邻问题。可把规定相邻元素当成一个元素与其它元素排列。
（4）插空法：该方法主要用于解决元素不相邻问题。可先把规定的不相邻元素插入无位置要求的元素之间和两端,再将无位置要求的元素全排列。
另外还有列举法、分类法、图形分析法、特殊者优先安排法等。
目前，数学教育学家对我国中学生在解决排列组合问题时易犯的错误类型作了问卷调查。通过对所有参加答卷的学生的仔细分析，确定了下面的我国中学生在解决排列组合问题时易犯的错误类型：
（1）两个基本计数原理的运用错误；
（2）对有无顺序问题的判断错误；
（3）分析问题时的重复或遗漏；
（4）对题意的理解错误；
（5）运算错误。
    其中，前4种错误在学习排列组合知识的广大学生中最为普遍，而主要成因就是排列组合中有许多极为相象的问题易使人混淆。如果我们有针对性地将这些易混淆的问题“捆绑”起来认真分析，则必会对排列组合知识的学习带来较好的效果。
2  “分类”问题与“分步”问题的辨析
一般情况下，“分类”问题与“分步”问题常分别采用分类计数原理、分步计数原理来解决。
    分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法……在第n类办法中有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。
    分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法……做第n步有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。
分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理。它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列组合这部分知识的始终。这两个基本原理从概念上看就有一些易混淆之处，而各自针对的问题也常常易使人混淆，下以具体的例子加以辨析。
例  现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学
生4名。
（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
（2） 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
分析  问题（1）中任选1人参加接待外宾的活动，可有3类办法：在高中一年级选1人；在高中二年级选1人；在高中三年级选1人。由已知，第1类办法中有3种不同的选法，第2类办法中有5种不同的选法，第3类办法中有4种不同的选法，这属于“分类”问题，可应用分类计数原理来解决。问题（2）中从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，则需要分成3步，第1步在高中一年级选1人，第2步在高中二年级选1人，第3步在高中三年级选1人，而在第1步中有3种不同的选法，在第2步中有5种不同的选法，在第3步中有4种不同的选法，这属于“分步”问题，可应用分步计数原理来解决。
解：（1）共有3+5+4=12种不同的选法。
    （2）共有3×5×4=60种不同的选法。
分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。其区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。
3  有顺序问题与无顺序问题的辨析
在同一问题中，如果对问题中的元素存在着有、无顺序上的要求，那么问题就会有很大的差别。
    例1  宿舍走廊里装有编号为1、2、3、…、8的8盏照明灯，为了既照明
又省电
（1）要熄灭其中3盏灯，但编号相邻的灯不能同时熄灭，共有多少种不同的熄灯方法？
（2）要熄灭其中3盏灯，且熄灭的灯中恰有2盏相邻，共有多少种不同的熄灯方法？
分析  问题（1）中编号相邻的灯不能同时熄灭，可考虑从不熄灭的5盏灯
产生的6个“空”中任选3个，代表熄灭的3盏灯即可，这3个“空”没有顺序上的要求，应该用组合的知识解决；而问题（2）中可同样考虑从不熄灭的5盏灯产生的6个“空”中任选2个，其中1个“空”代表熄灭且相邻的2盏灯，1个“空”代表熄灭的1盏灯，所以这2个“空”之间有顺序上的要求，应该用排列的知识解决。
 解：（1）共有 种不同的熄灯方法。
     （2）共有 种不同的熄灯方法。
排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题。区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关。与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题。
不过，通常情况下，许多问题的解决过程都需要排列与组合的综合应用。
例2 从5名女同学和4名男同学中选出3名女同学和2名男同学，分别担
任物理、化学、语文、数学和外语的科代表，共有多少种不同的选派方法？
分析  本题是排列与组合的综合题型，一般方法是先组合后排列。选派方法可分三步进行，第一步：从5名女同学中选出3名，有 种方法；第二步：从4名男同学中选出2名，有 种方法；第三步：将选出的3个女生，2个男生共5人分别去担任5科的科代表，有 种方法。
解：共有 =7200种不同的选派方法。