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在实践中由银行监管部门根据实际情况来确定VaR 的数值，而一个不合理的VaR 取值 有可能导致约束过于严格或过松，甚至会出现约束失败的问题[15]。因此，在合理取值VaR 125 时，VaR 约束线L 一定会与投资组合有效边界相交，以便将商业银行的投资风险降至其风 险承受能力以内。由于在VaR 约束线L 上方的投资组合是在商业银行可以承受的风险范围 内的，因此，有效的投资组合风险和收益率被限定在N 点以内，其中点N 是VaR 约束线L 与投资组合有效边界RfG 的交点。 综上所述，最终修正后的商业银行投资组合有效边界为线段RfN。 130 1.4 效用函数的控制思路 王春峰等[16]创立了将无差异曲线表示在收益率-方差坐标面的效用函数，函数明确表现 了收益率与方差的替代关系，如图3 所示。该无差异曲线随着效用值的不同，沿左上或右下 方向移动[17]。 p σ p ER 135 图3 效用函数 当无差异曲线与投资组合有效边界的切点T 在VaR 约束的商业银行风险承受能力范围 内时，切点T 处的组合为商业银行最优的贷款投资组合。如图4 所示。 p σ ERp VaR 约束线L Rf -VaR T N 140 图4 效用函数切点位于有效边界内 当无差异曲线与投资组合有效边界的切点T 在线段RfN 的N 点右侧以外时，VaR 约束 线与贷款组合有效边界交点N 代表的组合为最优的贷款投资组合。如图5 所示。 p σ ERp Rf -VaR N VaR 约束线L 145 图5 效用函数切点位于有效边界外 1.5 投资组合优化原理 在未考虑商业银行对债券运用时的投资组合有效边界曲线OGB 的基础上，与无风险资 产进行再组合，形成的最优投资组合集合为初步修正后的商业银行投资有效边界RfG（如图 150 1 所示）；考虑到商业银行的风险承受能力和监管要求，在VaR 约束下进一步缩小有效投 资组合的范围，从而得到最终修正后的有效边界RfN（如图2 所示）；在效用函数的作用下， 根据切点的不同情况进一步确定了具体的商业银行投资比例，如图4~图5 所示。投资组合 优化原理如图6 所示。 、 (IV)根据切点T 的位置确定最优投资组合 未考虑商业银行对 债券投资时的投资 组合有效边界OGB 无风险资产 组合Rf VaR 约束 初步修正后的 投资组合有效 边界RfG 最终修正后的投资 组合有效边界RfN 效用函数 切点T 是否在 VaR控制范围内 T 点代表的投资组合为最优 N 点代表的投资 组合相对最优 Y N 图6 资产组合优化原理 使得投资决策满足不同 投资者的风险偏好 最终确定出综合考虑现有对债券的运用情况、风险 和效用的最优投资组合 (II) 对初步确定的有效边界 RfG，利用VaR 进行约束 满足资金利用效率的同时， 考虑银行的风险承受能力 (III)以效用最大化的目标函数 选择有效边界上的投资组合 (I)考虑进行债券运用行为 的投资组合有效边界 考虑到商业银行可以进行无 风险投资、融资的实际情况 155 1.6 基于VaR 约束和效用最大化的商业银行投资组合优化特色 （1）考虑现代商业银行对债券发行和投资的运用情况，初步修正了商业银行投资组合 的有效边界，为射线RfG。 （2）为与商业银行的监管相适应，本文同时引用了风险价值在收益-标准差坐标面内的 160 表达方式对商业银行投资组合的有效边界进一步约束，最终修正为线段RfN。 2 贷款投资组合优化模型 2.1 投资组合有效边界的确定 2.1.1 期望收益率、协方差矩阵的确定 某商业银行拥有的n 家企业m 年贷款收益率历史数据和m 年内各种无风险投资的平均 收益率，如表1 所示， ij r 表示企业j 第i 年的收益率，i ≤m，j ≤，,i、j 均为正整数； if 165 r 表 示第i 年无风险资产的平均收益率。 可根据历史数据确定每个企业贷款（风险投资）收益率的期望值： m r R m i ij j Σ= = 1 （j ≤ n 且为正整数） （5） 无风险资产的期望收益率： m r R m i if f Σ= 170 = 1 （6） 表1 商业银行贷款、投资项目的历史数据 商业银行投资项目 年 份 企业1 企业2 企业3 … 企业n 无风险投资 第1 年 11 r 12 r 13 r … n r1 f r1 第2 年 21 r 22 r 23 r … n r2 f r2 第3 年 31 r 32 r 33 r … n r3 f r3 … … … … … … … 第m 年 m1 r m2 r m3 r … mn r mf r 由公式（5）、（6）可得组合收益率矩阵： [ n f ] R R ,R , ,R ,R 1 2 = ⋅⋅⋅ （7） 贷款收益率的协方差： ( )( ) m r R r R m i ik k il l kl Σ= − − σ = 1 （8） 其中，i ≤m 且为正整数，k、l ≤ n 且为正整数； k R 表示企业k 的期望收益率（ m r R m i ik k Σ= = 1 ）, l 175 R 表示企业l 的期望收益率。 由于无风险投资收益率的方差为0，因此无风险投资与各企业贷款投资收益率的协方差 也为0。则商业银行贷款投资组合的协方差矩阵表示为： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 1 2 21 22 1 11 12 1 m m mn n n σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 180 2.1.2 投资组合有效边界的确定 记商业银行对各企业的贷款投资和无风险投资比例为X= [ ]T x , x ,..., xn , xf 1 2 ，其中 x1,x2,…xn ≥ 0，xf ≥ 0 时表示购买债券，xf<0 时表示发行债券。2 p σ 为贷款组合方差， 2 p σ = X TσX ；贷款组合期望收益率p ER =Σ+ = × 1 1 n j j j R x = R ×X，记I=[ ] ( 1) 1 1,1,...,1 n+ × T 。 风险贷款的投资收益率的方差： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ = m m mn n n σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 1 2 21 22 2 11 12 1 185 考虑无风险资金时贷款组合的有效边界的求解函数为[10]： 目标函数：min X T X p σ σ 2 1 2 1 2 = ⎩ ⎨ ⎧ × = × = 1 . . X I R X ER s t T p (9) 用贷款期望收益率与无风险资产的期望收益率表示贷款风险溢价，记贷款风险溢价矩阵 190 为R′，则： [ ] f f n f R′ = R − R , R − R ,...,R − R 1 2 [ ]T n X x , x ,..., x 1 2 = 故得： 2 1 (R 1R ) ER R T p f p ′ ′ − = σ − σ （ ） (10) 风险贷款及无风险资金的投资比例为： ( ) [ ] ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = − × = − ′ ′ ′ × − − r X X ER r R R R f n T p f 1 1 1 1 1,1,...,1 σ / σ 195 (11) 由公式（9）可以确定出G 点坐标。同时由公式（10）可看出， p ER 是关于p σ 的一次 函数，在p σ - p ER 的坐标轴上表现为一条直线RfG。 2.2 VaR 约束线的确定 由公式（4）得： ER (c) VaR p p 200 = φ −1 ×σ − (12) 在p σ - p ER 的坐标轴上表现为一条以−VaR 为纵轴截距的直线L。 将VaR 约束线作用于投资组合有效边界RfG，得： ( ) ⎪ ⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = × − ′ ′ − = − − ER c VaR R R ER R p p T p f p φ σ σ σ 1 2 1 ( 1 ) （ ） (13) 解得： ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 2 1 1 1 max c R R c R R R VaR ER T T f p − ′ ′ × + ′ ′ × = − − − − φ σ 205 φ σ (14) 公式（14）中求得的p ER 是VaR 约束线L 与投资组合有效边界RfG 的交点N 对应的期 望收益率，同时也是投资组合期望收益率的上限p max ER ，这意味着在VaR 约束下，商业银 行的投资组合期望收益率不可能高于p max ER ，与p max ER 对应的风险是VaR 约束下商业银 行允许承受的最大值。 210 2.3 效用最大化下的投资比例的确定 记u 为效用值；A 为反映银行回避风险程度的系数,则银行的效用函数为[16] 2 / 2 p p u = ER − A×σ (15) 其中A 为常数，是一个反映投资者回避风险程度的指数。 由公式（15）可知，效用函数是一簇弯曲程度相同的曲线。运用效用函数为商业银行在 215 投资有效边界上确定投资比例，联立公式（10）、（15）得： ⎪ ⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = − × ′ ′ − = − / 2 ( ) 2 2 1 1 p p T p f p u ER A R R ER R σ σ σ （ ） (16) 由（16）可以求出相应的p ER 和投资比例，即各投资资产占商业银行未发行债券前的 资金的比例；当p ER 值超出VaR 约束的上限p max ER 时， p ER 只能取VaR 约束内的最大值 p max ER = ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 2 1 1 1 c R R c R R R VaR T T f − ′ ′ × + ′ ′ × − − − − φ σ φ σ ，投资比例取p max ER 对应的投资比例。 220 2.4 VaR 约束下的双目标函数贷款组合优化模型 原创学术论文网Tag：代写代发论文 论文发表 代写实证论文 |
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