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分形市场分析在证券投资组合中的应用
王国强，严定琪
兰州大学数学与统计学院，兰州 730000
摘要：市场的有效性不同，对证券的收益率和风险进行评估的方法和意义就有所不同。现代投
资组合理论大部分是建立在有效市场假设（EMH）下的。然而，相对于有效市场假设，资本
市场更多地体现出分形特征, 比如，金融资本市场的收益率不符合正态分布假定，而且收益率
序列具有“厚尾和高尖峰”特征。本文在Markowitz 投资组合理论以及Sharpe 单指数模型等
基础上，使用离差表示风险，建立了分形市场假设（FMH）下的投资组合模型, 并通过实证分
析验证了模型的有效性。
关键词：证券投资组合；分形（稳定）分布；风险度量
中图分类号： F830.59
作者简介： 王国强（1985-），男，兰州大学数学与统计学院研究生，主要研究方向：金融工程。E-mail:wanggq8599@163.com
; 严定琪，男，副教授，主要研究方向：金融工程。
基于有效市场假设，Markowitz(1952) 建立了投资组合模型，他阐述了资产组合选择问题
是如何通过均值-方差优化来分析的[1]。Fama(1965b) 和Samuelson(1967) 独立地提出了一般
化的均值-方差的Markowitz(1952) 优化方法, 后来，Fama、Miller(1972) 和Sharpe(1970) 对
这个问题作了进一步解释[1][2]。然而，很多实证研究表明，金融资本市场收益率并非完全符合
正态分布假定，其收益率序列往往具有“厚尾和尖峰”的特征，这些厚尾分布常常显示出非线
性随机过程, 使用稳定分布也称分形分布能更好的地拟合收益率[3][4]。本文将探讨分形分布下
证券投资组合的风险度量以及模型建立等问题。
1 分形分布概述
尽管正态分布有很多有利的特性，但正态分布不适合描述市场收益。稳定列维分布和稳定
帕托累分布更接近资本市场的性质，而且它们是分形的[2]。
1.1 列维分布
列维分布是稳定分布。Levy 假设，如果对于所有的b1 > 0, b2 > 0 , 以及b > 0 ，分布函
数F(x) 是稳定的，因此：
F(X/b1) × F(X/b2) = F(X/b)
F 的特征函数还可以表述为下列相似方式：
f(b1 · t) × f(b2 · t) = f(b · t)
因此，根据分形分布的“稳定性”， f(b1 · t), f(b2 · t) 和f(b · t) 是具有相同形状的分布。
1.2 特征函数
实际描绘稳定分布通常是使用Mandelbrot(1964) 的方法，即取它们的特征函数的对数，
形式如下：
(t) = ln[f(t)] = ln[E(eixt)] =
{
iδt − γ|t| (1 − iβ(t/|t|) tan(απ/2), α ̸= 1
iδt − γ|t|(1 + iβ(2/π) ln |t|), α = 1
这个分布有四个参数： α, β, γ 和δ 。其中δ 是局部参数， γ 是规模变化参数。δ 和γ 不
能决定任意一个分布真正的特征，因而相比较而言不太重要。当γ = 1, δ = 0 时，分布可以认
为是简约形式。参数α 和β 决定分布的形状，是极为重要的。其中， β （−1 ≤ β ≤ 1）是
偏斜度参数，当β = 0 时，分布围绕δ 对称；当β > 0 时，分布是正偏斜的；当β < 0 时，
分布是负偏斜的。参数α （0 ≤ α ≤ 2）为特征指数, 在δ 处决定峰度和在尾部决定胖度。
当α = 2.0 时，分布是正态的，此时方差等于2γ2 。当α < 2.0 时, 二阶矩或总体方差变为
无限或不存在。当（1 ≤ α ≤ 2.0）时，一阶矩或总体均值存在。α 值可使用R/S 分析法估
计: α = 1/H , 其中H 为分布的Hurst 指数。
如果具有相同特征指数α 的两个分布是稳定的，则它们的和也是稳定的，且具有相同的
特征指数。同时，当α < 2, β = 0 时，分布的两个胖尾都遵循帕累托法则。实证表明，资本市
场中特征指数几乎都大于1，偏斜指数近似于0。
2 分形分布与现代投资组合
2.1 Markowitz 的M—V 模型思想
Markowitz(1952) 阐述了如何通过均值-方差优化来分析资产组合选择问题，归结为针对
收益的风险偏好。由于一个资产组合的风险相比单个股票风险相加的和要大得多，资产组合的
斜方差做如下处理：
σ2
a;b = σ2
a + σ2
b + 2ρa;bσaσb
其中， ρa;b 是股票a 和b 的相关系数。等式计算了两只股票的风险，它可以作为计算任何
数目的股票风险的一般化方法。对于一个给定风险水平而达到最高预期收益的资产组合，就是
一个有效资产组合，所有有效资产组合的集合被称为有效边界。针对于方差的优化均值收益引
起期望均值-方差效率，用这种方法Markowitz 量化了资产组合的风险控制以及组合的架构。
2.2 单指数模型的优化
运用分形分布时，一个问题是其没有方差可优化，不过它有一个扩散项γ , 可以用来测量
风险。另一个问题是相关性极其不稳定，处理相关系数ρ 更为困难。不过，Sharpe(1964) 单指
数模型给出了一个相关风险测量度β [2]。为避免与特征公式中β 混淆，下文中记为b 。
单指数模型b 可以表示如下：
Ri = ai + biI + di
其中， bi 表于股票i 对指数I 的敏感性， ai 表于非指数股票收益， di 表于具有零均值
的误差项。这些参数是通过对指数收益做股票收益的回归来估计的， b 是斜率， a 是截矩。在
分形分布中，可以假定指数收益的分布I 和股票收益R 是具有相同特征指数α 的稳定分布，
假设为稳定帕累托分布。这样，资产组合风险Cp 可用下式表示[5]：
Cp =
ΣN
i=1
ω
i Cdi + b
p CI
其中， ωi 表示股票i 的权重， Cp 表示资产组合的离差参数， Cdi 表示di 的离差参数，
CI 表示指数I 的离差参数， b
p =
ΣN
i=1 ωibi 表示资产组合收益对指数I 的敏感度。
如果取ωi = 1/N ，则上式中的误差项可表述为：
C
p = (
1
N
)
ΣN
i=1
上式表明，只要α > 1 , 多样性可以减少资产组合的非市场风险；当α = 1 时不存在多样
性效果；当α < 1 时，多样化反而增加了资产组合的非市场风险。
3 分形分布下投资组合模型
3.1 投资组合的风险度量
定义单个证券的风险Fi 为收益率相对于某一目标收益率T 的p 阶平均[6]，则:
Fi =
∫T
(T − Ri)pfi(Ri)dRi
其中T 为目标收益率， fi(Ri) 为收益率Ri 的概率密度函数， 0 ≤ p ≤ α ， 1 ≤ α ≤ 2.0 。
根据R/S 重标极差方法可知， Ri 与加权后的ωRi 具有相同的特征指数α [2]。有相同的
特征指数的分形分布存在可加性，因此有如下关系：
γ = [(ω1γ1) + . . . + (ωnγn) ]1/
δ = ω1δ1 + . . . + ωnδn
假设收益率服从对称分形分布，即Ri ∼ φ(α, 0, γ, δ) ，则ωRi ∼ φ(α, 0, |ω|γ, |ω|δ) 。取目
标收益T 为总体平均水平，即T = ERi , 则上式可写成[7]：
FRi =
E∫Ri
(ERi − Ri)pfi(Ri)dRi
=
1
2
∫+1
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